5—1918）首创集合论，大胆地向“无穷大”进军，为的是给数学各分支一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的，提出了实无穷的思想，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。

集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论、测度论、拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初，数学家希尔伯特在德国传播了康托尔的思想，把集合论称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊饶产物”英国哲学家罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。

逻辑

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数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论计算机科学有着密切的关联性。

符号

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也许我国古代的算筹是世界上最早使用的符号之一，起源于商代的占卜。

我们现今所使用的大部分数学符号都是到了16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学是用文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序。现今的符号使得数学对于人们而言更便于操作，但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩：少量的符号包含着大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码。

严谨性

数学语言亦对初学者而言感到困难如何使这些字有着比日常用语更精确的意思，亦困恼着初学者，如开放和域等字在数学里有着特别的意思数学术语亦包括如同胚及可积性等专有名词但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”

严谨是数学证明中很重要且基本的一部分数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去这是为了避免依着不可靠的直观，从而得出错误的“定理”或“证明”，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨牛顿为了解决问题所作的定义，到了十九世纪才让数学家用严谨的分析及正式的证明妥善处理。数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度当大量的计算难以被验证时，其证明亦很难是有效地严谨

数量

数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的有理和无理数

另一个研究的领域为其大，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：阿列夫数，它允许无限集合之间的大可以做有意义的比较