“院长，各位老师们，我先说一下克莱因瓶。因为这在以后，可能需要集结众人的力量去做一件事。”秦凤仙抱琴，对众人躬身，微微颔首，道，“首先，克莱因瓶这个名字的翻译，其实，是有些错误的。最初的名字是来自星河文明发源地的一个国家，德国。德语命名时，叫‘klehe flhe’是‘克莱因平面的意思。因为翻译问题时写成了fhe，成了现在用语瓶子的意思，也就被后世称之为克莱因瓶。不过，不要紧，‘瓶子’这个词用起来也挺合适的。”

“克莱因瓶，是星河历1882年，德国著名数学家菲利克斯克莱因（feli kle）发现了。这是一个，像球面那样封闭的，也就是说没有边的曲面。但是它却只有一个面。在学院上空，我们看到，克莱因瓶的确就像是一个瓶子。但它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个环面。”

“克莱因瓶，是一个不可定向的二维紧流行，而球面和磨盘面试可定向的二维紧流形。如果仔细观察克莱因瓶，有一点似乎令人困惑？克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。”

“当我们把克莱因瓶放在四维空间中理解才是完美的。克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。用扭结来打比方，如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线。它并不和自己相交，而是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。”

“只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，我们可以把它理解成处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样。就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环。”

“如果莫比乌斯带能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。因为在制作莫比乌斯带的过程中，我们要对纸带进行180°翻转再首尾相连，这就是一个三维空间下的操作。理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”应该是在二维面中，朝任意方向前进都可以回到原点的模型，而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进。”

“但是只有在两个特定的方向上才会回到原点，并且只有在其中一个方向上，回到原点之前会经过一个“逆向原点”，真正理想的“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”也应该是在二维面上朝任何方向前进，都会先经过一次“逆向原点”，再回到原点。而制作这个模型，则需要在四维空间上对三维模型进行扭曲。”

“克莱因瓶定义为正方形区域[0，1][0，1]模掉等价关系0，y~1，y， 0≤y≤1和，0~1，1， 0≤≤1。类似于bi band，克莱因瓶不可定向。但bi 带可嵌入，而克莱因瓶只能嵌入四维（或更高维）空间……”

当秦凤仙讲述完克莱因瓶时，并且取出纸张和笔来勾画时，除了宋小朋，其他所有人都看得，